前言

在数学解题过程中,合理地构造形式相似,具有某种对称关系的一对对偶关系式,并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算,往往能使问题得到巧妙的解决,收到事半功倍的效果。

一、和差对偶

例:若$3sin \theta +4cos\theta =5$,求$tan\theta $($0< \theta < \frac {\pi }{2}$)。

二、互倒对偶

例:对$0<x,y,z<1$,求证$\frac {1}{1-x+y}+\frac {1}{1-y+z}+\frac {1}{1-z+x}\geq 3$。

三、倒序对偶

例:求$S=1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+…+n\binom{n}{n}$。

四、定值对偶

例:已知$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$,求$S=f(\frac {1}{4})+f(\frac {1}{3})+f(\frac {1}{2})+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)$。

五、奇偶对偶

例:求证$\frac {1}{2} \times \frac {3}{4} \times \frac {5}{6} \times … \times \frac {2n-1}{2n}<\frac {1}{\sqrt{2n+1}}$。

六、轮换对偶

例:求证对$\forall a,b\in (1,+\infty )$,均有$\frac {a^2}{b-1}+\frac {b^2}{a-1}\geq 8$。

七、互余对偶

例:已知$x\in \left [ 0,\frac {\pi }{2} \right ]$,解方程$cos ^2 x+cos ^2 2x+cos^2 3x=1$。

最后更新: 2018年12月06日 23:08

原始链接: https://ruixiangjiang.github.io/2018/12/04/构造对偶/

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